[...] dann wäre der Winkel AMG immer 60°. Liesse sich damit nicht auch der Endpunkt in Bezug auf den Mittelpunkt errechnen ohne einen der Punkte A,B oder C zu kennen?
Beim gleichseitigen wäre AMG (ich denke du nimmst diese Bezeichnungen aus deiner verlinkten Skizze?) wirklich 60° (= 1/3 Pi).
Das hat allerdings nichts damit zu tun ob man mindestens 1 Punkt kennen muss oder nicht - denn das muss man.
Stell dir einfach vor du hast dein Dreieck schon fertig um den Kreis.
Du kannst es beliebig um den Kreis drehen ohne das der Kreis sich verändert.
Du brauchst also eine Orientierung des Dreiecks.
Die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks bleiben natürlich gleich - es geht nur um die Orientierung des Dreiecks in unserem Koordinatensystem.
Du könntest beliebig viele Dreiecke berechnen welche den Bedingungen entsprechen (Gleichseitig, gleichwinklig, mit diesem Kreis als Innenkreis...).